（評価・考察）
（1）
ポイント
いろんなやり方があると思います。中学生でもできる問題です。
高校生らしく解くなら余弦定理を使いましょう。
辺の長さがわかっている時は余弦定理です。
三角形ABCに余弦定理を用いて
$$ \cos B = \frac {5^2+9^2-6^2}{2\cdot5\cdot9} =\frac{7}{9}$$
$$ \sin B = \sqrt{1-\cos^2 B}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$$
よって、
$$AH = AB\sin B = \frac{20\sqrt{2}}{9}$$
(2)
ポイント
整数問題ではとりあえず因数分解から何か見えてこないか試しましょう。
与式を変形して
$$(a+1)(b-4)=-4$$
a,bは正の整数なので$$a+1\geq2, b-4\geq-3$$であることを踏まえると、
$$(a+1,b-4)=(2,-2),(4,-1)$$
の２つの組み合わせとなる。よって、
$$(a,b)=(1,2),(3,3)$$
(3)
ポイント
正多角形に内接する三角形が直角三角形となる条件とは・・・？
2n個の頂点から三角形の頂点となる任意の３つの点の選び方は
$${}_{2n} \mathrm{C}_3=\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3}$$
これが三角形の作り方の個数となる。
次に正多角形に外接する円を考えた時、三角形の1辺が円の直径になるように頂点を選ぶと直角三角形を作ることができる。
直径の選び方はn通りであり、その直径に対する残り１つの頂点の選び方は2n-2通り。よって、
$$p=\frac{n(2n-2)}{\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3}}=\frac{3}{2n-1}$$